1870年，康托尔开始研究“三角级数”，并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——“集合论”的建立。

康尔托受“魏尔斯特拉斯”的直接影响，对“严格的分析”理论进行了深入地研究，不久便获得了一系列重大的成果。

他首次证明了“复合变量函数三角级数展开的唯一性”，继而用“有理数列极限”定义无理数。

三角级数也常称为“傅里叶级数”，康托尔在寻找“函数”展开为“三角级数”表示的“唯一性判别准则”的研究中，认识到了“无穷集合”的重要性，并开始进行深入的研究，证明它即使在“有限个间断点”处“不收敛”，定理仍然成立。

1872年，康托尔把“唯一性”的结果推广到允许“例外值”是某种“无穷的集合”情形。为了描述这种集合，他首先定义了“点集的极限点”，然后引进了“点集的导集”和“导集的导集”等重要概念。

这是从“唯一性”问题的探索向“点集论”研究的开端，为“点集论”的诞生奠定了重要的理论基础。

为了将“有穷集合”的元素个数的概念推广到“无穷集合”，康托尔以“一一对应”为原则，提出了“集合等价”的重要概念。第一次对各种“无穷集合”按照它们元素的“多少”进行了分类。

于是，康托尔引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成“一一对应”的任何一个集合都称为“可列集合”。

1874年，康托尔证明了“有理数集合”是“可列”的，后来他还证明了所有的“代数数”的全体构成的“集合”也是可列的。

然而不久之后，康托尔得出了一个出乎意料的结论，他发现“实数集合”是不可列的。

由于实数集合“不可列”，而“代数数集合“可列”，康托尔凭着敏锐的直觉，预言了“超越数集”的存在，而且坚信“超越数”的数量将大大地多于“代数数”。

同年，康托尔又构造了“实变函数论”中著名的“康托尔集”，给出了“测度为零”的“不可数集”的一个例子。

康托尔还巧妙地将“一条直线上的点”与“整个平面的点”一一对应起来，甚至可以将“直线”与整个“n维空间”中的点进行“一一对应”。

至此，康托尔将“无穷”的概念发挥到了极至。

“无穷概念”的提出，为数学的发展开辟了一片广阔的新天地，使“集合论”成为了“近代数学大厦”的基础。

但是其诞生之初的“不完备”性，导致了一些看似“微不足道”的问题偶尔出现，这些问题不断地日积月累。

终于，随着“罗素悖论”的提出，第三次数学危机彻底爆发了，康托尔成为了数学界各大名流的众矢之的，对他展开了猛烈的抨击，这些人当中，德国数学家“克罗内克”的言辞最为激烈，攻击时间长达10年之久。

“数学的本质就在于它的自由。”——这是康托尔的信条。他一生孤独行走在追求真理的道路上，追求着他所向往的“无穷”与自由之美，几乎是凭着他的一己之力，完成了数学关于“无穷”概念的革命。

然而，薪水微薄的康托尔，最终耗尽自己的全部心血，也无法完全解决“集合论”出现的各种问题，他那颗追求完美的心最终无法接受这一切，终于彻底地崩溃了。

然而，真理越辨越明，“集合论”经过不断地完善，其重要性最终得到了数学界的普便肯定，成为了“近代数学”牢固的基础。

著名的数学家“希尔伯特”用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

当我们在学习“集合”概念的时候，向康托尔这位勇敢的先行者致以崇高地敬意吧！