［重要结论 1］函数 y＝f（x）的图像关于点 A（a，b）对称的充要条件是 f（x）＋f（2a－x）＝2b。      证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点 P’（2a－x，2b－y）也在 y＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。      即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。      （充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。       ∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。      故点 P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点 P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。      推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。      ［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是：       f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）      推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A（a， c）和点  B（b，c）成中心对称（ a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。      （2）若函数 y＝f（x）图像同时关于直线 x＝a和直线 x＝b成轴对称（ a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。      （3）若函数 y＝f（x）图像既关于点 A（a，c）成中心对称又关于直线 x＝b成轴对称（ a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 4|a－b|是其一个周期。      （1）（2）的证明留给读者，以下给出（ 3）的证明：      ∵函数 y＝f（x）图像关于点 A（a，c）成中心对称。       ∴f（x）＋f（2a－x）＝2c，用 2b－x代 x得：       f（2b－x）＋f［2a－（2b－x）］＝2c（1）      又∵函数 y＝f（x）图像关于直线 x＝b成轴对称。       ∴f（2b－x）＝f（x）代入（ 1）得：       f（x）＝2c－f［2（a－b）＋x］（2）      用 2（a－b）－x代入 x得：       f［2（a－b）＋x］＝2c－f［4（a－b）＋x］代入（ 2）得： f（x）＝f［4（a－b）＋x］，故 y＝f（x）是周期函数，且 4|a－b|是其一个周期。      二 两个函数的对称性       ［重要结论 4］函数 y＝f（x）与 y＝2b－f（2a－x）的图像关于点 A（a，b）成中心对称。      ［重要结论 5］（1）函数 y＝f（x）与 y＝f（2a－x）的图像关于直线 x＝a成轴对称。      （2）函数 y＝f（x）与 a－x＝f（a－y）的图像关于直线 x＋y＝a成轴对称。      （3）函数 y＝f（x）与 x－a＝f（y＋a）的图像关于直线 x－y＝a成轴对称。结论 4与结论 5中的（1）        （2）证明留给读者，现证结论 5中的（3）。

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      设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。记点 P（x，y）关于直线 x－y＝a的轴对称点为 P’（x1，y1），则 x1＝a＋y0，y1＝x0－a，∴x0＝a＋y1，y0＝x1－a代入 y0＝f（x0）之中得 x1－a＝f（a＋y1）∴点 P’（x1，y1）在函数 x－a＝f（y＋a）的图像上。      同理可证：函数 x－a＝f（y＋a）的图像上任一点关于直线 x－y＝a的轴对称点也在函数 y＝f（x）的图像上。故定理 5中的（3）成立。      推论 3：函数 y＝f（x）的图像与 x＝f（y）的图像关于直线 x＝y成轴对称。      三 三角函数图像的对称性       函数 对称中心坐标 对称轴方程        y＝sin x （kπ，0）  x＝kπ＋π/2        y＝cos x （kπ＋π/2，0）  x＝kπ        y＝tan x （kπ/2，0） 无        四 函数对称性应用举例       例 1，定义在 R上的非常数函数满足： f（10＋x）为偶函数，且 f（5－x）＝f（5＋x），则 f（x）一定是（）。（第十二届希望杯高二第二试题）       A．是偶函数，也是周期函数。       B．是偶函数，但不是周期函数。       C．是奇函数，也是周期函数。       D．是奇函数，但不是周期函数。解：∵f（10＋x）为偶函数，∴ f（10＋x）＝f（10－x）。 ∴f（x）有两条对称轴 x＝5与 x＝10，因此， f（x）是以 10为其一个周期的周期函数，∴ x＝0，即 y轴也是 f（x）的对称轴，因此 f（x）还是一个偶函数，故选（ A）。      例 2，设定义域为 R的函数 y＝f（x）、y＝g（x）都有反函数，并且 f（x－1）和 g－1（x－2）函数的图像关于直线 y＝x对称，若 g（5）＝1999，那么， f（4）＝（）。       A．1999    B．2000 C．2001    D．2002解：∵y＝f（x－1）和 y＝g－1（x－2）函数的图像关于直线y＝x对称，∴ y＝g－1（x－2）反函数是 y＝f（x－1），而 y＝g－1（x－2）的反函数是： y＝2＋g（x），∴f（x－1）＝2＋g（x）， ∴f（5－1）＝2＋g（5）＝2001，故 f（4）＝2001，应选（ C）。      例 3，设 f（x）是定义在 R上的偶函数，且 f（1＋x）＝f（1 －x），当－1≤x≤0时，f（x）＝－12 x，则 f（8.6）＝（）。（第八届希望杯高二第一试题）      解：∵f（x）是定义在 R上的偶函数，∴ x＝0是 y＝f（x）的对称轴；又∵ f（1＋x）＝f（1－x），∴x＝1也是 y＝f（x）的对称轴。故 y＝f（x）是以 2为周期的周期函数，∴ f（8.6）＝f（8＋0.6）＝f（0.6）＝f（－0.6）＝0.3。      例 4，函数 y＝sin（2x＋ 52 π）图像的一条对称轴的方程是（）。（92全国高考理）       A．x＝－π2 B．x＝－π4 C．x＝ π 8D．x＝ 54 π      解：函数 y＝sin（2x＋ 52 π）图像的所有对称轴的方程是 2x＋ 52 π＝kπ＋ π2 。       ∴x＝ kπ－π，显然取 k＝1时的对称轴方程是 x＝－π，故22 选（A）。例 5，设 f（x）是定义在 R上的奇函数，且 f（x＋2）＝－f（x），当 0≤x≤1时，f（x）＝x，则 f（7.5）＝（）。       A．0.5   B．－0.5 C．1.5  D．－1.5      解：∵y＝f（x）是定义在 R上的奇函数，∴点（ 0，0）是其对称中心；又∵ f（x＋2）＝－f（x）＝f（－x），即 f（1＋x）＝ f（1－x），∴直线 x＝1是 y＝f（x）的对称轴，故 y＝f（x）是周期为 2的周期函数。       ∴f（7.5）＝f（8－0.5）＝f（－0.5）＝－f（0.5）＝－0.5，故选（B）。